Potenzen nach oben

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zum Text Zerlegung von Zahlen in Produkte aus Zehnerpotenzen
zum Text Merksätze zur Potenzrechnung
zum Text Erweiterung der Potenzrechenregeln auf rationale Exponenten

Anna Heynkes, 29.11.2004

Definitionen der Potenzrechnung nach oben

Ein Produkt aus nur gleichen Faktoren nennt man eine Potenz.

a · a · a · a = a b = c
(a = Grundzahl (Basis), b = Hochzahl (Exponent), c = Ergebnis)

Beispiel:
3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81
Beachte:
a0 = 1
a-n = 1 / an
00 ist nicht definiert.

Zerlegung von Zahlen in Produkte aus Zehnerpotenzen nach oben

  1. 23456 = 2 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100
  2. 547006 = 5 · 105 4 · 104 + 7 · 103 + 6 · 100
  3. 10307 = 1 · 104 + 3 · 102 + 7 · 100

Merksätze zur Potenzrechnung nach oben

Potenzrechnung geht vor Punktrechnung.
Für Folgendes gilt: (a Elemente von rationale Zahlen), a, b ≠ 0; m, n Elemente von ganze Zahlen)
Die Grundzahl soll nicht Null, die Exponenten sollen ganze Zahlen sein.
am · an = am+n
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
Beispiele:
23 · 24 = 23+4 = 27 =  128
52 · 53 = 52+3 = 55 = 3125
am / an = am-n
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.
Beispiele:
23 / 24 = 23-4 = 2-1 = 1 / 21 = 0,5
36 / 34 = 36-4 = 32 = 9
an · bn = (a · b)n
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen unter dem gemeinsamen Exponenten multipliziert.
Beispiele:
23 · 33 = (2 · 3)3 = 216
42 · 52 = (4 · 5)2 = 400
an / bn = (a / b)n
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen unter dem gemeinsamen Exponenten dividiert.
Beispiele:
23 / 43 = (2 / 4)3 = 1/8
57 / 67 = (5 / 6)7 ≈ 0,28
(an)m = am · n = (am)n
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
Beispiele:
(23)4 = 24 · 3 = (24)3 = 4096
(34)6 = 34 · 6 = (36)4 ≈ 2,82
Summen und Differenzen aus Potenzen bzw. Potenzgruppen mit gleichen Basen und Exponenten darf man mithilfe der Vorfaktoren zusammenfassen.
Beispiele:
3x7 + 5x7 = 8x7
3x5 - 1x5 = 2x5
Potenzen mit der Basis 2 heißen Zweierpotenzen.
Beispiel:
20 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024
Potenzen mit der Basis 10 heißen Zehnerpotenzen.
Beispiel:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
106 = 1.000.000
107 = 10.000.000
108 = 100.000.000
109 = 1.000.000.000
1010 = 10.000.000.000
Potenzen mit dem Exponenten 2 heißen Quadratzahlen.

Erweiterung der Potenzrechenregeln auf rationale Exponenten nach oben

Für Folgendes gilt: (a, b Elemente rationale Zahlen, a, b ≠ 0; r, s Elemente rationale Zahlen)
Die Grundzahl soll nicht Null, die Exponenten sollen rationale Zahlen sein.
ar · as = ar+s
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
Beispiele:
20,3 · 20,7 = 20,3 + 0,7 = 21 =    2
51,5 · 53,5 = 51,5 + 3,5 = 55 = 3125
ar / as = ar-s
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.
Beispiele:
23,5 / 24,5 = 23,5 - 4,5 = 2-1 = 1 / 21 = 0,5
36,9 / 34,9 = 36,9 - 4,9 = 32 = 9
ar · br = (a · b)r
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen unter dem gemeinsamen Exponenten multipliziert.
Beispiele:
0,21,5 · 201,5 = (0,2 · 20)1,5 = 41,5 = 8
0,85/2 · 55/2 = (0,8 · 5)5/2 = 42,5 = 32
ar / br = (a / b)r
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen unter dem gemeinsamen Exponenten dividiert.
Beispiele:
161,5 / 41,5 = 16/41,5 = 41,5 = 8
125/2 / 35/2 = (12/3)5/2 = 42,5 = 32
(ar)s = ar · s = (as)r
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
Beispiele:
(20,2)5 = 2(1/5 · 5) = (25)0,2 = 2
(30,8)2,5 = 3(0,8 · 2,5) = 32 = 9
Summen und Differenzen aus Potenzen bzw. Potenzgruppen mit gleichen Basen und Exponenten darf man mithilfe der Vorfaktoren zusammenfassen.
Beispiele:
3x0,7 + 5x0,7 = 8x0,7
3x4,5 - 1x4,5 = 2x4,5

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