Potenz- und Wurzelfunktionen nach oben

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Anna Heynkes, 30.11.2004

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten nach oben

Funktionen der Form f(x) = xn mit n Elemente von natuerliche Zahlen heißen Potenzfunktionen.

Üblicherweise wird auch die lineare Funktion f(x) = x1 dazu gerechnet.

Neben diesem Sonderfall gibt es zwei Grundtypen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Im Bereich negativer x-Werte sehen Potenzfunktionen mit geraden Exponenten deutlich anders als Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten aus, weil sich bei geraden Exponenten die negativen Vorzeichen aufheben.

X-Werte y=x1 y=x3 y=x5 y=x7 Graph Erläuterungen
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-8,00
-5,83
-4,10
-2,74
-1,73
-1,00
-0,51
-0,22
-0,06
-0,01
0,00
0,01
0,06
0,22
0,51
1,00
1,73
2,74
4,10
5,83
8,00
-32,0000
-18,8957
-10,4858
-5,3782
-2,4883
-1,0000
-0,3277
-0,0778
-0,0102
-0,0003
0,0000
0,0003
0,0102
0,0778
0,3277
1,0000
2,4883
5,3782
10,4858
18,8957
32,0000
-128,00000
-61,22200
-26,84355
-10,54135
-3,58318
-1,00000
-0,20972
-0,02799
-0,00164
-0,00001
0,00000
0,00001
0,00164
0,02799
0,20972
1,00000
3,58318
10,54135
26,84355
61,22200
128,00000
x hoch 2, 4 oder 6

f(x) = x1 ist eine Gerade, die man auch Winkelhalbierende nennt.

Je größer der Exponent ist, umso steiler wird die Kurve.

Die Graphen dieser Potenzfunktionen mit rationalen x-Werten und ungeraden natürlichen Exponenten sind punktsymetrisch und steigen von links unten (3. Quadrant) durch den Nullpunkt nach rechts oben (1. Quadrant) überall streng monoton wachsend an. Um den Nullpunkt schmiegen sie sich an die x-Achse an.

Alle Kurven laufen durch die drei Punkte (-1,-1), (0,0) und (1,1), weil -12n-1=-1, 0n=0 und 1n=1 sind.

Die Lösungsmenge der Gleichung xn = a ist bei ungeradem Exponenten n:
{a1/n} falls a > 0 a1/n ist die n-te Wurzel aus a
{0} falls a = 0
{-(|a|1/n)} falls a < 0 |a|1/n ist die n-te Wurzel aus dem Betrag von a
X-Werte y=x2 y=x4 y=x6 Graph Erläuterungen
-2,0
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
4,00
3,24
2,56
1,96
1,44
1,00
0,64
0,36
0,16
0,04
0,00
0,04
0,16
0,36
0,64
1,00
1,44
1,96
2,56
3,24
4,00
16,000
10,498
6,554
3,842
2,074
1,000
0,410
0,130
0,026
0,002
0,000
0,002
0,026
0,130
0,410
1,000
2,074
3,842
6,554
10,498
16,000
64,0000
34,0122
16,7772
7,5295
2,9860
1,0000
0,2621
0,0467
0,0041
0,0001
0,0000
0,0001
0,0041
0,0467
0,2621
1,0000
2,9860
7,5295
16,7772
34,0122
64,0000
x hoch 2, 4 oder 6

Je größer der Exponent ist, umso steiler wird die Kurve.

Die Graphen dieser Potenzfunktionen mit rationalen x-Werten und geraden natürlichen Exponenten sind symetrisch zur y-Achse. Im 4. Quadranten fallen die y-Werte mit zunehmenden x-Werten stetig ab. Die Funktionen sind im Bereich negativer x-Werte (x ≤ 0) streng monoton fallend. Im 1. Quadranten steigen die y-Werte nach rechts oben (1. Quadrant) stetig an. Die Funktionen sind im Bereich positiver x-Werte (x ≥ 0) streng monoton steigend. Auch die Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten schmiegen sich in der Nähe des Nullpunktes an die x-Achse an.

Alle Kurven laufen durch die drei Punkte (-1,1), (0,0) und (1,1), weil -12n=1, 0n=0 und 1n=1 sind.

Die Lösungsmenge der Gleichung xn = a ist bei geradem Exponenten n:
{a1/n; -(a1/n)} falls a > 0 a1/n ist die n-te Wurzel aus a
{0} falls a = 0
{} falls a < 0 bei geradem Exponenten gibt es für negative a keine Lösung

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